BILANGAN RASIONAL dan BILANGAN PECAHAN

Definisi bilangan

Secara umum, bilangan dalam ilmu matematika didefinisikan sebagai jumlah, banyaknya benda, satuan jumlah, lingkungan daerah. Semua definisi itu memang akan membingungkan kalau terpisah dari konteksnya. Namun, percayalah bahwa kita semua akan memahaminya meski seringkali sulit menerjemahkan pemahaman tersebut.

Permasalahan yang sering muncul ialah terkait dengan penulisan bilangan. Bagaimana menuliskan bilangan dalam sebuah kalimat? Apakah dituliskan dengan angka atau dengan huruf? Untuk mengupas masalah ini, tentunya kita menggunakan definisi bilangan sebagai satuan jumlah.
Dalam matematika, bilangan dapat didefinisikan sebagaimana terurai dalam skema berikut :

Dari skema diatas dapat kita lihat bahwa secara umum bilangan terbagi dalam dua kelompok utama yaitu bilangan nyata dan bilangan khayal. Bilangan khayal memiliki turunan berupa bilangan irasional, sedangkan bilanyan nyata memiliki turunan berupa bilangan rasional yan terbagi lagi dalam dua kelompok yaitu bilangan pecahan dan bilangan bulat.

Lalu apakah yang dimaksud dengan bilangan rasional???

Secara umum, menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan Real integer yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b di mana a dan b harus. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b .

Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan beberapa contoh berikut :
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi 4/1 .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan 2/3 . Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
3. Pecahan 35/42 . Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional juga.

Sedangkan bilangan pecahan secara umum dapat di definisikan sebagai bilangan yang jumlahnya kurang atau lebih dari bilangan utuh. Bilangan pecahan sabgat erat hubungan nya dengan satuan metode. Secara umum, semua bilangan pecahan merupakan bilangan rasional meskipun tidak semua biangan rasional adalah bilangan pecahan. Hal ini dikarenakan perbedaan dari bilangan rasional yang dapat dituliskan ke dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.

Tetapi untuk bilangan pecahan dapat dituliskan ke dalam bentuk a/b  dengan a dan b adalah bilangan bulat, a dan b tidak bersama-sama mempunyai angka yang sama (karena akan menyebabkan angka 1), a dan b tidak boleh 0, dan b tidak boleh 1.

Lalu apakah yang harus kita lakukan untuk mengidentifikasi suatu bialangan rasional yang berbentuk pacahan?? Untuk menjawab hal tersebut, perhatikan beberapa contoh berikut ini :

bilangan ..???

Jawab:

Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?

Jawab:

Misalkan
A=0,2525252525.... __(persamaanpertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525...
99A = 25
A = .
Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan a/b di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.

Lalu, Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?

Jawab:

Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111...
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...
900 A = 109
A = .
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.

Satu hal yang terpenting adalah Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat. Hal ini dapat kita lakukan dengan menentukan terlebih dahulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi).

Contoh :

Tentukan bilangan pecahan a/b paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123....

Jawab:
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah .
Setelah disederhanakan maka menjadi .

2. Jika a/b adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil!

Jawab:

Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517....
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??